4.3-dars: Tarqoqlik (dispersiya, std, diapazon)

4-QISM — STATISTIKA · 3-dars

1. Kirish va motivatsiya

O'rtacha ma'lumotning markazini ko'rsatadi, lekin hikoyaning yarmi — ikkinchi yarmi tarqoqlik: qiymatlar markaz atrofida jipslashganmi yoki keng yoyilganmi? Ikki sinf bir xil o'rtacha ballga ega bo'lishi mumkin (70), lekin biri [68, 70, 72] (jipslashgan — barcha o'xshash), boshqasi [40, 70, 100] (tarqoq — juda farqli). O'rtacha ularni ajratmaydi — tarqoqlik ajratadi. Asosiy o'lchovlar: diapazon (max-min), dispersiya (variance — o'rtacha kvadratik chetlanish), standart chetlanish (std — dispersiya ildizi, eng ko'p ishlatiladigan), IQR (kvartillararo — chidamli). Nega muhim? (1) To'liq rasm — markaz + tarqoqlik; (2) Xavf/barqarorlik — moliyada std = xavf; (3) ML — standartlashtirish (std) modelga tayyorlash. Bu dars tarqoqlikni chuqur o'rgatadi — ma'lumot qanchalik tarqoq.

Tarqoqlik — ma'lumot markaz atrofida qancha yoyilgan: diapazon (range — max-min; oddiy, chetga sezgir), dispersiya (variance — o'rtacha kvadratik chetlanish), standart chetlanish (std — dispersiya ildizi; eng ko'p, o'sha birlikda), IQR (kvartillararo — Q3-Q1, chidamli), std ma'nosi (68-95-99.7 — 4.6), ddof (populyatsiya vs namuna). Foydalanish: to'liq rasm, xavf, standartlashtirish. Bu 4.2 (markazlashuv), 2.8 (std) bilan bog'liq. Tarqoqlik — std/dispersiya/IQR. Markaz + tarqoqlik. Yoyilish.

Real vaziyat. Data Scientist ikki sinf ballini solishtirdi: A sinf [68, 70, 72], B sinf [40, 70, 100]. O'rtacha bir xil (70) — lekin sinflar butunlay boshqa (A jipslashgan — barcha o'xshash; B tarqoq — juda farqli). Std ajratdi: A std ~1.6 (jipslashgan), B std ~24.5 (tarqoq). O'rtacha yarmi (markaz), std ikkinchi yarmi (tarqoqlik). Moliyada: ikki investitsiya bir xil o'rtacha daromad, lekin biri std past (barqaror — xavfsiz), biri std yuqori (o'zgaruvchan — xavfli). Tarqoqlik to'liq rasmni berdi (markaz + yoyilish). Std — Data Science asosiy o'lchovi (xavf, barqarorlik, standartlashtirish).

Bu darsda tarqoqlikni o'rganamiz.

Bu darsda:

• Diapazon va dispersiya
• Standart chetlanish (std)
• IQR (kvartillararo)
• std ma'nosi va ishlatilishi
• Populyatsiya vs namuna (ddof)
• Tarqoqlik amaliyoti
• Tarqoqlik tuzoqlari
• Amaliy: tarqoqlik modeli

ℹ Misollar real numpy/pandas bilan (deterministik) ishlaydi.

2. Nazariya — chuqur tushuntirish

2.1. Diapazon va dispersiya

Eng oddiy va kvadratik:

import numpy as np

data = np.array([10, 20, 30, 40, 50])

# DIAPAZON (range) — max - min
data.max() - data.min()    # 40 (oddiy, chetga sezgir)

# DISPERSIYA (variance) — o'rtacha kvadratik chetlanish
data.var()                 # 200.0
# har element o'rtachadan farqi kvadrati, o'rtachasi

Diapazon va dispersiya — oddiy va kvadratik: diapazon (range — max - min; eng oddiy — eng katta va kichik farqi; chetga sezgir — bir chet qiymat buzadi), dispersiya (variance — var(); o'rtacha kvadratik chetlanish — har element o'rtachadan farqi kvadrati, o'rtachasi). Sabab: diapazon (oddiy — chegaralar, lekin faqat 2 nuqta, chet sezgir); dispersiya (hamma element — o'rtachadan farq; kvadrat — manfiy yo'q, katta farq ko'proq jazolanadi). Dispersiya kvadrat birlikda (yosh kv — tushunish qiyin; std yechadi — 2.2). Diapazon (max-min), dispersiya (kvadratik chetlanish). Oddiy vs to'liq. Kvadrat.

2.2. Standart chetlanish (std)

Dispersiya ildizi (eng ko'p):

data = np.array([10, 20, 30, 40, 50])

data.std()         # 14.14 (dispersiya ildizi: sqrt(200))
np.sqrt(data.var())  # bir xil

# std — o'RTACHA birlikda (yosh, dollar — tushunarli)
# "o'rtachadan o'rtacha uzoqlik" (taxminan)

Standart chetlanish (std) — dispersiya ildizi: data.std() (dispersiya kvadrat ildizi — sqrt(var); sqrt(200)=14.14). Sabab: dispersiya kvadrat birlikda (yosh kv — tushunish qiyin); std ildizini oladi → o'sha birlikda (yosh, dollar — tushunarli); eng ko'p ishlatiladi (tarqoqlik — std). std ma'nosi — "o'rtachadan o'rtacha uzoqlik" (taxminan — qiymatlar markazdan qancha uzoq). Katta std (tarqoq), kichik std (jipslashgan). std — dispersiya ildizi (std, o'sha birlik). Eng ko'p. Tushunarli.

2.3. IQR (kvartillararo)

Chidamli tarqoqlik:

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 100])

Q1 = np.percentile(data, 25)    # 1-kvartil (25%)
Q3 = np.percentile(data, 75)    # 3-kvartil (75%)
IQR = Q3 - Q1                    # kvartillararo

# CHIDAMLI (chet qiymat ta'sir qilmaydi — 100 buzmaydi)
# outlier: Q1 - 1.5*IQR dan past yoki Q3 + 1.5*IQR dan yuqori

IQR (kvartillararo) — chidamli tarqoqlik: Q1 = percentile(data, 25) (1-kvartil — 25% pastda), Q3 = percentile(data, 75) (3-kvartil — 75%), IQR = Q3 - Q1 (o'rta 50% yoyilishi). Sabab: std/diapazon chetga sezgir (outlier buzadi); IQR — o'rta 50% (chet tashqarida — ta'sir qilmaydi; chidamli — median kabi 4.2). Outlier aniqlash: Q1 - 1.5*IQR dan past yoki Q3 + 1.5*IQR dan yuqori (box plot — 5-qism). IQR (chidamli — median hamrohi), std (sezgir — o'rtacha hamrohi). IQR — kvartillararo (Q3-Q1, chidamli). Chet. Outlier.

2.4. std ma'nosi va ishlatilishi

std ma'nosi va ishlatilishi: ma'no — qiymatlar markazdan o'rtacha uzoqlik (katta std — tarqoq, keng; kichik std — jipslashgan, markazga yaqin); 68-95-99.7 qoidasi (normal taqsimot — 4.6: ~68% ma'lumot o'rtacha ± 1 std, ~95% ± 2 std, ~99.7% ± 3 std); ishlatilish: (1) xavf (moliya — std = o'zgaruvchanlik = xavf; yuqori std — xavfli investitsiya), (2) barqarorlik (kichik std — barqaror, ishonchli), (3) standartlashtirish (z-score = (x - o'rtacha)/std — 2.6; ML tayyorgarlik), (4) outlier (o'rtacha ± 3 std tashqari — chet). Sabab: std tarqoqlikni o'lchaydi (markaz yetmaydi — yoyilish muhim: xavf, barqarorlik); Data Science'da keng (xavf, standartlashtirish). std ma'nosi — o'rtacha uzoqlik (68-95-99.7). Xavf. Standartlashtirish.

2.5. Populyatsiya vs namuna (ddof)

Populyatsiya vs namuna (ddof) — bo'luvchi farqi: populyatsiya std (std() — NumPy standart, ddof=0; bo'luvchi N), namuna std (std(ddof=1) — bo'luvchi N-1; namuna uchun). Sabab: namuna populyatsiyani baholaganda (4.1 — namuna → populyatsiya); namuna std populyatsiya std'ni kam baholaydi (namuna markazga yaqinroq); N-1 (Bessel tuzatishi) buni to'g'rilaydi (biroz kattaroq — xolisroq). NumPy standart ddof=0 (populyatsiya); Pandas standart ddof=1 (namuna!) — farqli! Ehtiyot (NumPy std() vs Pandas .std() — turli natija). Amalda ko'pincha ddof=1 (namuna — real ma'lumot). Populyatsiya/namuna — ddof (0 vs 1). Bessel. NumPy/Pandas farq.

2.6. Tarqoqlik amaliyoti

Tarqoqlik amaliyoti: diapazon (max-min — oddiy chegara); std (std — eng ko'p, o'sha birlik); dispersiya (var — kvadrat); IQR (percentile 75-25 — chidamli, outlier); markaz + tarqoqlik (mean+std yoki median+IQR); ddof (namuna ddof=1); 68-95-99.7 (std ma'nosi — 4.6); standartlashtirish (z-score — std). Tuzoqlar: markazsiz tarqoqlik (birga kerak), ddof (NumPy 0, Pandas 1 — farq), std chetga sezgir (outlier — IQR), dispersiya birlik (kvadrat — std), IQR/std chalkash. Amaliyot — std, IQR, markaz+tarqoqlik, ddof. Yoyilish. To'liq rasm.

2.7. Tarqoqlik tuzoqlari

Tarqoqlik asosiy tuzoqlari: markaz yetarli deb (o'rtacha yolg'iz — tarqoqlikni ko'rsatmaydi; [70,70] va [40,100] bir o'rtacha, turli std; markaz + tarqoqlik birga); ddof (NumPy vs Pandas) (NumPy std() — ddof=0 (populyatsiya); Pandas .std() — ddof=1 (namuna); turli natija — chalkash; real ma'lumot ddof=1); std chetga sezgir (outlier std'ni oshiradi (bir chet — katta std); chidamli kerak bo'lsa IQR); dispersiya birlik (variance kvadrat birlik (yosh kv) — tushunish qiyin; std o'sha birlik); IQR/std chalkash (std — o'rtacha hamrohi (sezgir); IQR — median hamrohi (chidamli); mos ishlatish); std manfiy emas (std ≥ 0 — chetlanish; manfiy std xato); kichik namuna std (kam element — beqaror std); std=0 (barcha bir xil — tarqoqlik yo'q; masalan [5,5,5]). Sabab: tarqoqlik markaz/ddof/chet nozik (yolg'iz markaz, ddof, outlier — jim xato). Yechim: markaz+tarqoqlik, ddof to'g'ri, IQR (chet), std birlik. Tuzoqlar — markaz, ddof, chet, birlik.

2.8. Tarqoqlik — hikoyaning ikkinchi yarmi

Tarqoqlik asosiy g'oyasi — hikoyaning ikkinchi yarmi: markaz (o'rtacha — 4.2) ma'lumotning yarmi (qayerda); tarqoqlik ikkinchi yarmi (qancha yoyilgan — jipslashgan yoki keng); ikkisi birga to'liq rasm ([70,70,70] va [40,70,100] bir o'rtacha, turli tarqoqlik — std ajratadi). Diapazon (max-min — oddiy), dispersiya (kvadratik chetlanish), std (dispersiya ildizi — eng ko'p, o'sha birlik, "o'rtacha uzoqlik"), IQR (o'rta 50% — chidamli, outlier). Std ishlatilishi: xavf (moliya — o'zgaruvchanlik), barqarorlik (kichik std — ishonchli), standartlashtirish (z-score — ML), outlier (± 3 std). ddof (namuna ddof=1 — Bessel; NumPy/Pandas farq). Data Science'da tarqoqlik doim (markaz bilan birga — to'liq rasm; xavf; ML tayyorgarlik). Bu 4.2 (markazlashuv) davomi va 4.5 (taqsimot), 4.6 (normal — 68-95-99.7), 2.6 (standartlashtirish) bilan. Tarqoqlik — hikoyaning ikkinchi yarmi (std/IQR). Markaz + tarqoqlik. To'liq rasm.

3. Tez ma'lumotnoma

import numpy as np

# DIAPAZON (oddiy, chetga sezgir):
data.max() - data.min()

# DISPERSIYA (kvadratik chetlanish):
data.var()                 # kvadrat birlik (yosh kv)

# STD (dispersiya ildizi — eng ko'p, o'sha birlik):
data.std()                 # "o'rtachadan o'rtacha uzoqlik"
np.sqrt(data.var())        # bir xil

# IQR (kvartillararo — chidamli):
Q1 = np.percentile(data, 25)
Q3 = np.percentile(data, 75)
IQR = Q3 - Q1
# outlier: Q1-1.5*IQR dan past / Q3+1.5*IQR dan yuqori

# DDOF (populyatsiya vs namuna):
data.std()          # NumPy ddof=0 (populyatsiya)
data.std(ddof=1)    # namuna (Bessel, N-1)
#   Pandas .std() — ddof=1 (namuna) — FARQLI!

# 68-95-99.7 (normal — 4.6):
#   ±1 std ~68% · ±2 std ~95% · ±3 std ~99.7%

QOIDA: markaz + tarqoqlik · std (sezgir) IQR (chidamli) · ddof (namuna 1)

Tarqoqlik xulosasi

Tarqoqlik — hikoyaning ikkinchi yarmi (markaz + tarqoqlik)
Diapazon (max-min) · dispersiya (kvadratik) · std (ildiz, eng ko'p)
std — "o'rtachadan o'rtacha uzoqlik" (o'sha birlik)
IQR — o'rta 50% (chidamli, outlier)
ddof — namuna (1, Bessel) · NumPy 0, Pandas 1 (farq!)

4. Batafsil misollar

Misollar real numpy/pandas bilan (deterministik) ishlaydi.

Misol 1 — Ikki sinf (bir o'rtacha, turli std)

"""Ikki sinf: bir o'rtacha, turli tarqoqlik (real numpy)."""

import numpy as np


def main() -> None:
    A = np.array([68, 70, 72])      # jipslashgan
    B = np.array([40, 70, 100])     # tarqoq

    print("=== 1. Bir xil o'rtacha ===")
    print(f"  A o'rtacha: {A.mean()}, B o'rtacha: {B.mean()}")

    print("\n=== 2. Turli std ===")
    print(f"  A std: {round(A.std(), 1)} (jipslashgan)")
    print(f"  B std: {round(B.std(), 1)} (tarqoq)")

    print("\n=== 3. Diapazon ===")
    print(f"  A: {A.max()-A.min()}, B: {B.max()-B.min()}")

    print("\n=== 4. Xulosa ===")
    print("  o'rtacha bir xil, tarqoqlik ajratadi")
    print("  ⭐ Std — hikoyaning ikkinchi yarmi")


if __name__ == "__main__":
    main()

Natijaning muhim qismi:

=== 1. Bir xil o'rtacha ===
  A o'rtacha: 70.0, B o'rtacha: 70.0

=== 2. Turli std ===
  A std: 1.6 (jipslashgan)
  B std: 24.5 (tarqoq)

=== 3. Diapazon ===
  A: 4, B: 60

=== 4. Xulosa ===
  o'rtacha bir xil, tarqoqlik ajratadi
  ⭐ Std — hikoyaning ikkinchi yarmi

Nima ko'rsatdi: 2.1, 2.2-bo'limlar.

Misol 2 — Diapazon, dispersiya, std

"""Diapazon, dispersiya, std (real numpy)."""

import numpy as np


def main() -> None:
    data = np.array([10, 20, 30, 40, 50])

    print("=== 1. Diapazon ===")
    print(f"  max-min: {data.max() - data.min()}")

    print("\n=== 2. Dispersiya (kvadrat) ===")
    print(f"  var: {data.var()} (kvadrat birlik)")

    print("\n=== 3. Std (ildiz) ===")
    print(f"  std: {round(data.std(), 2)} (sqrt(var))")

    print("\n=== 4. Bog'lanish ===")
    print(f"  sqrt(var) == std: {round(np.sqrt(data.var()), 2) == round(data.std(), 2)}")
    print("  ⭐ std = dispersiya ildizi (o'sha birlik)")


if __name__ == "__main__":
    main()

Natijaning muhim qismi:

=== 1. Diapazon ===
  max-min: 40

=== 2. Dispersiya (kvadrat) ===
  var: 200.0 (kvadrat birlik)

=== 3. Std (ildiz) ===
  std: 14.14 (sqrt(var))

=== 4. Bog'lanish ===
  sqrt(var) == std: True
  ⭐ std = dispersiya ildizi (o'sha birlik)

Nima ko'rsatdi: 2.1, 2.2-bo'limlar.

Misol 3 — IQR va outlier

"""IQR va outlier (real numpy)."""

import numpy as np


def main() -> None:
    data = np.array([10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 100])

    print("=== 1. Kvartillar ===")
    Q1 = np.percentile(data, 25)
    Q3 = np.percentile(data, 75)
    print(f"  Q1: {Q1}, Q3: {Q3}")

    print("\n=== 2. IQR ===")
    IQR = Q3 - Q1
    print(f"  IQR: {IQR} (o'rta 50%)")

    print("\n=== 3. std vs IQR (chet) ===")
    print(f"  std: {round(data.std(), 1)} (100 buzdi)")
    print(f"  IQR: {IQR} (100 ta'sir qilmadi)")

    print("\n=== 4. Outlier chegarasi ===")
    yuqori = Q3 + 1.5 * IQR
    print(f"  outlier > {yuqori}: {list(data[data > yuqori])}")
    print("  ⭐ IQR — chidamli (chet ta'sir qilmaydi)")


if __name__ == "__main__":
    main()

Natijaning muhim qismi:

=== 1. Kvartillar ===
  Q1: 13.5, Q3: 18.5

=== 2. IQR ===
  IQR: 5.0 (o'rta 50%)

=== 3. std vs IQR (chet) ===
  std: 28.3 (100 buzdi)
  IQR: 5.0 (100 ta'sir qilmadi)

=== 4. Outlier chegarasi ===
  outlier > 26.0: [np.int64(100)]
  ⭐ IQR — chidamli (chet ta'sir qilmaydi)

Nima ko'rsatdi: 2.3-bo'lim.

Misol 4 — Populyatsiya vs namuna (ddof)

"""Populyatsiya vs namuna std (real numpy/pandas)."""

import numpy as np
import pandas as pd


def main() -> None:
    data = np.array([10, 20, 30, 40, 50])

    print("=== 1. NumPy std (ddof=0) ===")
    print(f"  populyatsiya: {round(data.std(), 3)}")

    print("\n=== 2. NumPy namuna (ddof=1) ===")
    print(f"  namuna: {round(data.std(ddof=1), 3)}")

    print("\n=== 3. Pandas std (ddof=1) ===")
    s = pd.Series(data)
    print(f"  Pandas: {round(s.std(), 3)} (namuna!)")

    print("\n=== 4. Farq ===")
    print(f"  NumPy std != Pandas std: {round(data.std(),3) != round(s.std(),3)}")
    print("  ⭐ ddof — NumPy 0 (populyatsiya), Pandas 1 (namuna)")


if __name__ == "__main__":
    main()

Natijaning muhim qismi:

=== 1. NumPy std (ddof=0) ===
  populyatsiya: 14.142

=== 2. NumPy namuna (ddof=1) ===
  namuna: 15.811

=== 3. Pandas std (ddof=1) ===
  Pandas: 15.811 (namuna!)

=== 4. Farq ===
  NumPy std != Pandas std: True
  ⭐ ddof — NumPy 0 (populyatsiya), Pandas 1 (namuna)

Nima ko'rsatdi: 2.5-bo'lim.

5. To'g'ri va noto'g'ri tushunishlar

6. Keng tarqalgan xatolar va yechimlari

1. Markazsiz tarqoqlik

data.mean()   # tarqoqlik yo'q                                # ⚠️
data.mean(), data.std()   # markaz + tarqoqlik                # ✅

2. ddof (NumPy vs Pandas)

np.std(data)   # ddof=0 · pd.Series(data).std()   # ddof=1   # ⚠️
data.std(ddof=1)   # namuna uchun aniq                        # ✅

3. std chetga sezgir

data.std()   # outlier oshiradi                               # ⚠️
Q3 - Q1   # IQR (chidamli)                                     # ✅

4. Dispersiya birlik

data.var()   # kvadrat (yosh kv) — tushunish qiyin              # ⚠️
data.std()   # o'sha birlik (yosh)                             # ✅

5. IQR/std chalkash

data.std()   # o'rtacha hamrohi (sezgir)                      # ⚠️
# chet bo'lsa median + IQR (chidamli)                          # ✅

6. Kichik namuna

np.std([5, 100])   # beqaror (kam element)                    # ⚠️
# katta namuna (barqaror)                                     # ✅

7. std=0 e'tibor

np.std([5, 5, 5])   # 0 (tarqoqlik yo'q)                      # ⚠️
# barcha bir xil — tekshir                                     # ✅

7. Integratsiya — bu bilim qayerda kerak bo'ladi

• 4.2-dars (o'tilgan): Markazlashuv (markaz + tarqoqlik)
• 2.6-dars (o'tilgan): Standartlashtirish (z-score — std)
• 4.6-dars: Normal taqsimot (68-95-99.7)
• 5-qism: Vizualizatsiya (box plot — IQR)
• 20-qism: ML (standartlashtirish)

8. Eng yaxshi amaliyotlar

1. Markaz + tarqoqlik (o'rtacha + std).

2. std — eng ko'p (o'sha birlik).

3. IQR — chidamli (chet/outlier).

4. ddof=1 — namuna (real ma'lumot).

5. NumPy (ddof=0) vs Pandas (ddof=1) — ehtiyot.

6. std — xavf/barqarorlik (moliya).

7. 68-95-99.7 (std ma'nosi).

8. Tarqoqlik — hikoyaning ikkinchi yarmi.

9. Amaliy topshiriq

Vazifa 1: Bashorat qiling

1.  # tarqoqlik nima?
2.  # diapazon nima?
3.  # dispersiya nima?
4.  # std nima?
5.  # std vs dispersiya?
6.  # IQR nima?
7.  # std vs IQR (chet)?
8.  # ddof nima?
9.  # NumPy vs Pandas std?
10. # std ma'nosi?
11. # markaz yetarlimi?
12. # nega tarqoqlik muhim?

Vazifa 2: Xatolarni tuzating

1.  data.mean()   # to'liq tasvir

2.  np.std(data)   # namuna kerak

3.  data.std()   # chet bor

4.  data.var()   # tushunarli birlik

5.  # o'rtacha bir xil → bir xil ma'lumot

1.  data.mean(), data.std()

2.  data.std(ddof=1)

3.  Q3 - Q1 (IQR)

4.  data.std() (o'sha birlik)

5.  std ham tekshir (turli tarqoqlik)

Vazifa 3: Diapazon/dispersiya

Modellang:

1. Diapazon
2. Dispersiya
3. Kvadrat
4. Oddiy

Vazifa 4: std

Modellang:

1. Ildiz
2. O'sha birlik
3. Eng ko'p
4. Uzoqlik

Vazifa 5: IQR

Modellang:

1. Kvartil
2. O'rta 50%
3. Chidamli
4. Outlier

Vazifa 6: ddof

Modellang:

1. Populyatsiya
2. Namuna
3. Bessel
4. NumPy/Pandas

Vazifa 7: O'ylash

Ikki sinf bir xil o'rtacha ballga (70) ega bo'lishi mumkin, lekin biri [68,70,72] (std past), boshqasi [40,70,100] (std yuqori). Nima uchun o'rtacha yolg'iz ma'lumotni to'liq tasvirlamaydi, va nega "markaz + tarqoqlik" birga statistikaning asosiy juftligi (nega ikkalasi ham kerak)?

Nimani mustahkamlaydi: 2.2, 2.8-bo'limlar.

Xulosa

Bu darsda tarqoqlikni o'rgandik.

Eng muhim uch fikr:

1. Diapazon, dispersiya, std. Diapazon (max-min — oddiy, chetga sezgir), dispersiya (var — o'rtacha kvadratik chetlanish; kvadrat birlik — tushunish qiyin), std (std — dispersiya ildizi; o'sha birlik — tushunarli, eng ko'p; "o'rtachadan o'rtacha uzoqlik"). Std ma'nosi — qiymatlar markazdan uzoqlik (katta — tarqoq, kichik — jipslashgan; 68-95-99.7 — 4.6).

2. IQR va ddof. IQR (kvartillararo — Q3 - Q1, o'rta 50%; chidamli — chet ta'sir qilmaydi, median hamrohi; outlier: Q1-1.5*IQR past / Q3+1.5*IQR yuqori). ddof (populyatsiya vs namuna) — std() NumPy ddof=0 (populyatsiya), std(ddof=1) namuna (Bessel N-1); Pandas .std() standart ddof=1 (NumPy'dan farqli — ehtiyot!).

3. Ikkinchi yarim. Std ishlatilishi — xavf (moliya — o'zgaruvchanlik), barqarorlik (kichik std — ishonchli), standartlashtirish (z-score — ML 2.6), outlier (± 3 std). Tarqoqlik — hikoyaning ikkinchi yarmi (markaz — qayerda; tarqoqlik — qancha yoyilgan; ikkisi birga to'liq rasm — bir o'rtacha, turli std = boshqa ma'lumot). Data Science'da doim (markaz + tarqoqlik — qaror, xavf, ishonch). Tuzoqlar: markazsiz tarqoqlik (birga), ddof (NumPy 0/Pandas 1), std chetga sezgir (IQR), dispersiya birlik (kvadrat — std).

Keyingi darsda kvartillar va persentillarni o'rganamiz: ma'lumotni 100 qismga bo'lish — persentil, kvartil, box plot asoslari (ma'lumot taqsimotini ko'rish).